Геометрия: Кога четириъгълникът е паралелограм?

Кога четириъгълникът е паралелограм?

Геометрия

  • Доказателства за четириъгълниците
  • Кога четириъгълникът е паралелограм?
  • Кога паралелограмът е правоъгълник?
  • Кога паралелограмът е ромб?
  • Кога паралелограмът е квадрат?

Мисля за четириъгълник с една двойка противоположни страни, успоредни и конгруентни. Назовете този четириъгълник.



Мисля за четириъгълник с двете двойки противоположни страни, еднакви. Назовете този четириъгълник.

Мисля за четириъгълник с двете двойки противоположни ъгли, еднакви. Назовете този четириъгълник.

Мисля за четириъгълник, чиито диагонали се разделят на две. Назовете този четириъгълник.

десетте най-големи държави

Ако сте отговорили? Паралелограм? към всичко по-горе, вие сте прави! Разбира се, вече знаете, че не е достатъчно да твърдите, че мисля за паралелограм. В колата има съмнения, така че ще трябва да го докажете.

Противоположни страни Конгруентни и паралелни

Вашето първо? Името на този четириъгълник? ключът включваше една двойка противоположни страни, които са успоредни и конгруентни. Ще го нарека теорема и ще напиша доказателство в две колони. Фигура 16.1 ще ви помогне да визуализирате ситуацията.

Фигура 16.1 Четириъгълник ABCD с BC? ? и BC ~ = AD.

карта на ел Салвадор
  • Теорема 16.1 : Ако една двойка противоположни страни на четириъгълник са успоредни и конгруентни, тогава четириъгълникът е успоредник.

Ето плана на играта. Да приемем, че пр.н.е.? ? AD и BC ~ = AD. По дефиниция паралелограм е четириъгълник с успоредни двете двойки противоположни страни. Вече знаете, че една двойка противоположни страни е успоредна. Трябва да покажете, че другата двойка противоположни страни е успоредна. С други думи, трябва да покажете, че AB? ? CD.

Можете да разгледате този четириъгълник по два начина. Първият начин е да се фокусираме върху сегменти BC и AD, изрязани от напречен AC. Тогава? BCA и? DAC са алтернативни вътрешни ъгли и са конгруентни, защото BC? ? От н.е. Вторият начин е да го обърнете настрани. AB и CD са два сегмента, нарязани от напречен AC. В този случай? BAC и? ACD са алтернативни вътрешни ъгли. Ако можете да покажете това? BAC ~ =? ACD, тогава бихте могли да заключите, че AB? ? CD, и ще бъде готово. Начинът да се покаже? BAC ~ =? ACD е да се използва CPOCTAC. За да използвате CPOCTAC, трябва да покажете? DAC ~ =? BCA. За да покажете? DAC ~ =? BCA, трябва да използвате постулата SAS. Нека го запишем.

ИзявленияПричини
1.Четириъгълник ABCD с BC? ? AD и BC ~ = AD.Дадено
2.Пр.н.е.? ? AD, прекъснат от напречен ACОпределение за трансверсален
3.? BAC и? ACD са алтернативни вътрешни ъглиОпределение на алтернативни вътрешни ъгли
Четири.? BCA ~ =? ЦАПТеорема 10.2
5.AC ~ = ACРефлексивно свойство на ~ =
6.? DAC ~ =? BCASAS Постулат
7.? BAC ~ =? ACDCPOCTAC
8.AB и CD са два сегмента, нарязани от напречен ACОпределение за трансверсален
9.? BAC и? ACD са алтернативни вътрешни ъглиОпределение на алтернативни вътрешни ъгли
10.AB ?? CDТеорема 10.8
единадесет.Четириъгълникът ABCD е успоредникОпределение за успоредник

След като сте наименували правилно този четириъгълник, можете да преминете към следващия четириъгълник.

Две двойки конгруентни страни

Във втория? Името на този четириъгълник? игра, четириъгълникът имаше две двойки конгруентни страни. Нека напишем това като теорема и го оставим да почива.

  • Теорема 16.2 : Ако и двете двойки на противоположните страни на четириъгълник са конгруентни, то четириъгълникът е успоредник.

Имаме визуално изображение на фигура 16.2. Имаме успоредник ABCD с AB ~ = CD и BC ~ = AD. Планът на играта е да се раздели четириъгълникът на два триъгълника с помощта на диагонал AC. Използвайте SSS Postulate, за да покажете, че двата триъгълника са конгруентни, и използвайте CPOCTAC, за да заключите, че алтернативните вътрешни ъгли са конгруентни и противоположните страни трябва да са успоредни. Ако покажем това за двете двойки противоположни страни, тогава имаме успоредник по дефиниция. Време е да запишете подробностите.

Фигура 16.2 Четириъгълник ABCD с AB ~ = CD и BC ~ = AD

карта на световните часови зони
ИзявленияПричини
1.Четириъгълник ABCD с AB ~ = CD и BC ~ = ADДадено
2.AC ~ = ACРефлексивно свойство на ~ =
3.? ABC ~ =? CDASSS Постулат
Четири.? BAC ~ =? ACD и? BCA ~ =? DACCPOCTAC
5.BC и AD са два сегмента, пресечени от напречен ACОпределение за трансверсален
6.? BAC и? ACD са алтернативни вътрешни ъглиОпределение на алтернативни вътрешни ъгли
7.Пр.н.е.? ? ДА СЕТеорема 10.8
8.AB и CD са два сегмента, нарязани от напречен ACОпределение за трансверсален
9.? BAC и? ACD са алтернативни вътрешни ъглиОпределение на алтернативни вътрешни ъгли
10.AB ?? CDТеорема 10.8
единадесет.Четириъгълникът ABCD е успоредникОпределение за успоредник

Още веднъж сладкият вкус на победата! Правилно сте го нарекли четириъгълника. Следващия!

Две двойки конгруентни ъгли

Третото описание на четириъгълника включва и двете двойки противоположни ъгли, които са конгруентни. Ще изложа теоремата и ще използвам фигура 16.3, за да ви преведа през вашето доказателство.

Фигура 16.3 Четириъгълник ABCD с? A ~ =? C и? B ~ =? D.

  • Теорема 16.3 : Ако и двете двойки противоположни ъгли на четириъгълник са конгруентни, тогава четириъгълникът е успоредник.

Трябва да започнете с вашите ъгли. Тъй като мерките на сумите на вътрешните ъгли на четириъгълник се добавят до 360, можете да покажете m? A + m? B = 180, или че? A и? B са допълнителни ъгли. Сега можете да разгледате този четириъгълник в следната светлина: BC и AD са два сегмента, нарязани от напречен AB. Обикновено трансверсалата е AC, но този път ще използвате AB. Тъй като вашите два ъгъла от една и съща страна на напречната част са допълващи, теорема 10.10 ви казва, че BC? ? От н.е. Подобен аргумент показва, че AB? ? CD.

ИзявленияПричини
1.Четириъгълник ABCD с? A ~ =? C и? B ~ =? DДадено
2. m? A + m? B + m? C + m? D = 360 Мерките на вътрешните ъгли на четириъгълник възлизат на 360
3. m? A + m? B + m? A + m? B = 360 Замяна (стъпки 1 и 2)
Четири. m? A + m? B = 180 Алгебра
5. ? A и? B са допълнителни ъглиОпределение на допълнителни ъгли
6. BC и AD са два сегмента, изрязани от напречна ABОпределение за трансверсален
7. Пр.н.е.? ? ДА СЕ Теорема 10.10
8. AB и CD са два сегмента, нарязани от напречен ADОпределение за трансверсален
9. m? A + m? D = 180 Замяна (стъпки 1 и 4)
10. ? A и? D са допълнителни ъглиОпределение на допълнителни ъгли
единадесет. AB ?? CD Теорема 10.10
12. Четириъгълникът ABCD е успоредникОпределение за успоредник

Разделяне на диагонали

А, играта с фамилното име от тази поредица! Ако имате четириъгълник, който има диагонали, които се разполовяват помежду си, вашият четириъгълник е успоредник. Фигура 16.4 показва паралелограм ABCD с диагонали AC и BD, които се пресичат в M и се разполовяват помежду си.

Фигура 16.4 Четириъгълник ABCD с диагонали AC и BD, които се пресичат в M и се разделят на две.

точка удивителен знак въпрос
  • Теорема 16.4 : Ако диагоналите на четириъгълник се разполовяват взаимно, тогава четириъгълникът е успоредник.

Ако погледнете фигура 16.4, игровият план за доказване на тази теорема трябва да бъде изведен ясно и ясно. Ще се възползвате от теорема 16.2: Двойките на противоположните страни на паралелограма са конгруентни. Двата диагонала разделят успоредника на четири триъгълника. Тъй като диагоналите се разделят на две, AM ~ = MC и BM ~ = MD. Тъй като вертикалните ъгли са съвпадащи, можете да използвате постулата SAS, за да покажете, че? AMB ~ =? BMC и? AMB ~ =? DMC. Оттам нататък става въпрос за прилагане на CPOCTAC, за да се покаже, че и двете двойки противоположни страни са конгруентни.

ИзявленияПричини
1. Четириъгълник ABCD с диагонали AC и BD, които се пресичат в M и се разделят на две Дадено
2. AM ~ = MC и BM ~ = MD Дефиниция на бисекция
3. ? AMB ~ =? CMD и? AMD ~ =? BMC Теорема 8.1
Четири. ? AMD ~ =? BMC и? AMB ~ =? DMC SAS Постулат
5. BC ~ = AD и AB ~ = CD CPOCTAC
6. Четириъгълникът ABCD е успоредник Теорема 16.2

Извадено от Пълното ръководство за геометрия на идиот 2004 от д-р Дениз Шечей. Всички права са запазени, включително правото на възпроизвеждане изцяло или частично под каквато и да е форма. Използва се по договаряне с Alpha Books , член на Penguin Group (USA) Inc.

За да поръчате тази книга директно от издателя, посетете уебсайта на Penguin USA или се обадете на 1-800-253-6476. Можете също да закупите тази книга на адрес Amazon.com и Barnes & Noble .